Table of Contents

Системите за покривање на разбирањето и нивните практични апликации

Системите за покривање се особено корисни во областите како што се комбинирањето, теоријата на броеви и решавањето на проблеми, каде што е неопходно максимално покривање на минималното покривање на бројки. Додека често во академските контексти, системите за покривање имаат практични апликации кои се движат од дизајнот на лотарија до телекомуникациската мрежа. Овој член обезбедува најдлабок водич за покривање на системите, вклучувајќи математички основи, стратегии за дизајн, реалните алатки, користењето на реалниот свет и концептите.

Што е систем за покривање?

Системот за покривање е збирка на аритметички прогресии (или повеќе, потсетници) како што е секој елемент на поголем состав, а тоа е збирка на аритметички конструкции (или пак повеќе, подсетници) како што е секој елемент од поголем збир) така што секој елемент од поголем број ефикасно ги користи како што е можно помалку прогресиии. На пример, множеството на прогресии {gloons (множити од 2, повеќепати 3, и единствената бројка 1} ги покрива броевите низ 1 низ 30 за неколку празнини, но добро-потпишан систем може да ги затвори тие празнини.

Формалната дефиниција вклучува модуда [на табели] [ФЛТ:] [ФЛТ]] [ФЛТ]]]]].

Зошто е важно да се покриваат системите

Во нивното јадро, кое ги покрива системите, одговара на едно основно прашање: како можете да гарантирате дека секој елемент во сетот е претставен од барем еден член на внимателно избрана колекција? Ова прашање се поставува во закажувањето, теоријата за кодирање, мрежното дизајнирање и коцкањето.

Математиката зад системот за покривање

Класи за ресиду и Модули

Секој интегер му припаѓа на точно еден остаток од талог модло [ФЛТ:0] [ФЛТ] [ФЛТ:]]: на оние кои се поврзани со 0, 1, ... [ФЛТ:2] [ФЛТ:3]. Системот за покривање избира збир од остатоци и модули така што секој интелиор паѓа во најмалку една избрана класа. На пример, користењето на прогресиите 0 Mod (дури и 1d (сим. 2) ги покрива сите броеви во три точки со два moduli. Заради тоа, предизвикот е намалувањето на бројот на кон ограничување на бројот на точките за покривање (дури и на одредена големина) за да се покрие одредена низа со мала количина.

[ФЛТ:0] Cinese Storer [FLT: 1) често игра улога во системите за покривање бидејќи овозможува комбинација од повеќе модулни услови. Ако два модули се од копирм, нивните талери се сечат во уникатен модолол на класа. Овој имот се користи за создавање на повеќекратно покривање и избегнување на празнини.

Подигање на склоноста и ефикасноста

Ефикасноста на системот за покривање се мери со неговата [ФЛТ:0] за да се открие густината [ФЛТ:] [1], степенот на опфатените бројки. Совршеното покривање има густина 1 (секој број покриено). Во пракса, ние често се стремиме кон систем кој ги покрива сите бројки во одреден опсег со најмал број на прогресии. Ова е познато како [ФТ:2] мининален систем за покривање [ФЛТ:3] за тој опсег.

  • Најмалиот број на аритметички прогреси потребни за покривање на даден сет на последователни интегери.
  • [ФЛТ:0] Опсегот на движење: [ФЛТ:] Максималната оддалеченост од било кој откриен број до најблискиот покриен број (недостоен во проблемите со приближувањето).
  • Прелепи помеѓу прогресии, малку преродба е прифатлива, но ја намалува ефикасноста.

Важни теории што го водат создавањето

Неколку теоретски средства обезбедуваат граници и резултати за покривање на системите. [ФЛТ:0] Системот за мрестење на ердос теорем [ФЛТ:1] наведува дека ако сите модули се чудни и не се квадратни, системот за мрестење на границите не може да ги покрие сите интегери освен ако не се различни модулите. Овој резултат од тоа се поттикна со децении истражување во избегнување на квадратните мудули. Во 2015, [ФЛТ:] ХОБУКУ: 3 докажува дека системите за управување со различни муули и арбитни мудули постојат најмалку проблеми, го решаваат проблемот (поставување на клучот)

Стратегии за создавање на ефикасни системи за покривање

Алгоритам - Алгоритам - пристап до Алгоритмот

Еден директен метод е алчниот алгоритам: постојано избирајте ја аритметичката прогресија (или подсетот) која ги покрива најоткриените бројки. Иако не секогаш оптимистички, овој хеуристичен често дава добри резултати. На пример, за да ги покриете броевите 1 до 100, може да почнете со повеќе од 2 (50 бројки), потоа повеќепати од 3 кои не се веќе покриени (17 нови бројки), и да продолжите додека не бидат покриени сите бројки.

Користење на главниот модул

Модули кој се главни броеви често произведува ефикасни прекривки бидејќи тие имаат помалку групи на остатоци кои се преклопуваат со други премиери. Познатиот резултат е дека системот за покривање со различни модули (сите премиери) може да ги покрие сите запирки со релативно малку прогресии. Сепак, [ФЛТ:0] Ердс , теорим (ФЛТ) предупредува дека ако сите модули се чудни и не можат да се движат, системот за покривање не може да биде ограничен ако во сите оние работи водат кон интересни проблеми.

Различен модул за комбинирање

За да се зголеми покривањето, смесата се менува со помош на повеќе видови, на пример комбинирајќи го модули 2, 3, и 5 ги покрива сите броеви modulo 30 освен 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (бројот на можниот број на прогреси. Потоа додавање на прогреси на еден од тие остатоци може да го покрие остатокот.

Структурни семејства: Теоремот на сонцето

Во 2015, математичарот Жи-Веи Сан објави теорем на [ФЛТ:0]unitorm- системи за покривање [ФЛТ:] каде што секој остаток се појавува точно еднаш. Овие системи се елегантни и често постигнуваат висока ефикасност. На пример, постои униформа од сите интегери modulo 24 која ги содржи модули 2,3,4,8,12,24.

Рефинирање на елементите и пребарување на компјутери

За сложени проблеми, прирачникскиот дизајн е непрактичен. Компјутерското пребарување со користење на интегер- линеарно програмирање или ограничување може да најде системи за комбинирање за даден опсег. GAP вклучува пакети за комбинирачки дизајни, и онлајн дигитрони (пр. [FLT:] Кои што се [FLT] KOD] далективирани алатки. Овие алатки нека внесат цел и да добијат комплет на модули и да постигнат минимален напредок.

Чекор по чекор како да се направи систем за покривање

Да поминеме низ еден целосен дизајн за да ги покриеме броевите од 1 до 100 користејќи систематски пристап.

  1. [ПЛТ:0] Покажи ја целта:
  2. Ова опфаќа 50 броеви (2,4,...100).
  3. Прогресијата 3,6,9... покрива 33 броеви, но 16 се веќе покриени со лименки, така што добивате 17 нови броеви (3,9,15,99) Сега покриени: 67 броеви.
  4. 13 се веќе покриени, добиваат 7 нови броеви (5,15,25... сега покриени: 74.
  5. [ФЛТ:0] Адула 7: [ФЛТ:1] Добиваш 5 нови броеви (7,21, 35,49,63,77,91 го правиш но 7,21,35,49,49,49,49,63, 77, 77, 77, 77, 77, 77, 77? Всушност, преклопување: повеќепати од 14 (7,5, дури и), повеќепати (во однос на 3, 77, 77, 91?
  6. Преостанатите откриени броеви се главни и 1: 1, 11, 17, 17, 17, 19, 29, 29, 31, 43, 53, 59, 61, 67, 73, 79, 89, 97, тоа се 22, тоа се 22, тоа се 22, тоа се:
  7. [ФЛТ:0] Премотај ги празнините со индивидуалните прогресии: [ФЛТ:] Додај прогресија која покрива точно 1 (пр. 1 mod 100), потоа уште 1 на 11, итн. Но, тоа е неефикасно. подобро: користете систем што останува. На пример, додајте прогрес со модула 30 и остатоци од 1.31, 91), потоа остатоци 11, 41, 71, остатоци (13,73), остатоци 1747, 77, итн., со модулусот, можете да ги покриете сите остатоци од модулуси кои се покриени 30.
  8. [ФЛТ:0] Оптимизирање: [ФЛТ:] Вистински минимален систем за 1.100 користи околу 1215 прогресии во зависност од методот. Користењето на алчно компјутерски пребарување дава решение со 14 прогресии.

Овој чекор по чекор покажува како системите за покривање се градат инкреативно. Клучниот увид: прогресивните слоеви на модули ги бришат повеќето броеви, а потоа мал збир на елементи специфични за прогресија ги бришат останатите.

Апликации од реалниот свет на системите за покривање

лоторија и разни видови коцкање

Една од најпопуларните апликации е во дизајнот за покривање на лотарија. Системот за покривање на лотарија има за цел да загарантира барем еден победнички билет ако одреден број на нацртани броеви се поклопува. На пример, "5 од 6. " за покривање на лотаријата гарантира дека ако имате точно 6 броеви, најмалку еден од вашите билети ќе победи. Овие системи штедат пари со намалување на бројот на билетите потребни за одржување на високата веројатност за добивање награда. Многу онлајн синдикати користат системи за покривање на материјалите. Математиката зад овие системи е идентична за покривање на системите опишани тука, освен "побројните" се комбинацијата на билети и "прогресите" се поставени за да се постават одредени бројки.

Спортски шеми

Во турнирите, кој покрива системи кои се осигуруваат дека секој тим игра со секој друг тим во одреден број пати. [ФЛТ:0] турнирите со помалку можности [ФЛТ] се користат за да се задоволат ограничувањата како достапноста на местото или растојанието за патување. На пример, "Урамнотежен некомплетен блок" е еден вид систем за покривање кој гарантира дека секој пар тимови се појавува заедно во одреден број натпревари, додека истовремено се одржува вкупниот број на натпревари со мали.

Телекомуникации и дизајн на мрежа

Системите за покривање се појавуваат во [ФЛТ:0] проблемите со доменот [ФЛТ: 1) каде што основните станици мора да ги покриваат сите корисници во регионот. Со моделирање на областите за покривање како аритметички прогресии (пр., ќелиите со периодични шеми), инженерите можат да ги постават трансмитерите ефикасно. Слично, [ФЛТ:2] со обликување на кодовите [ФЛТ: 3) како хамските кодови за да користат системи за корекција на еден бит, што ќе загарантираат грешки кои секој можен збор е покриен со еден единствен круг од зборот околу еден код.

Компресија на податоци

Во компресијата на податоците, системите за покривање помагаат да се дизајнира [ФЛТ:0]. Кодовите [ФЛТ] кои ја намалуваат просечната должина на код. Концептот на системот за покривање е аналоген за да се конструира код каде што се доделуваат знаци за секое поле од изворот, а конците ги покриваат сите можни бинарни секвенци на одредена должина. Ова се однесува на Гефман кодирање и аритметички код за кодирање. Поконфигуративниот код може да се гледа како покривање на лисјата на бинарно дрво, каде секој лист одговара на кодот. Опримните кодови одговараат на кодот одговараат на кодотот за поставување на системите за означување на должината.

Контрола на квалитетот и производството

Во производството, системите за покривање се користат за комбинирање на тестот. Кога тестирате производ со повеќе можности, треба да се осигурате дека секоја комбинација од можности вредности е покриена со најмалку еден случај за тестирање. Ова е идентично со систем за покривање над просторот на парови вредни за можности. Покриената низа (храмблика на случаи за тестирање) е директна примена на концептот за покривање, помагајќи им на инженерите да го намалат бројот на тестови додека го одржуваат покривањето на сите парфиметри (или повисоки) интеракции.

Напредни теми и отворени проблеми

Минимален систем за покривање на сите влезници

Дали постои систем за покривање со сите модули кои се различни и ограничени? Ова е познат проблем што го наметнува Ердус. Одговорот не е целосно познат. Во 1950 година, Пол Ерд ердес праша дали може да има систем за покривање каде што модулите се различни и најмали модулус е арбитрарен. Ова доведе до [ФЛТ:0]

Откривање на јамите: Проучување на неоткриени светилишта

За практични системи за покривање кои не сакаат да ги покријат сите интегери, анализирањето на збирот на откриени бројки е важно. На пример, ако сакате да ги покриете броевите од 1 до 100 со најмали прогресии, може да оставите мал комплет од откриени бројки кои можат да се додадат индивидуално. [ФЛТ:0] Закривањето на радиусот [ФЛТ:1] колку е далеку системот од совршени. Истражувачите развија алгоритми за да ги редифицијалните системи за покривање на одредените линии, како оние кои се користат во [ФЛ2: Worfl:] Матмфор: 3.

Отвори ги проблемите во покривањето на системите

  • Дали постои систем на покривање со сите модули различни и најмали модулус арбитражно голем? (Солведени од ХОК во 2015, но многу други прашања остануваат.)
  • Кој е минималниот број на модули во системот за покривање кој ги покрива сите интегери? Тековниот рекорд е околу 20 Модули.
  • [ФЛТ:0] Аналогите за други структури: [ФЛТ:1] Системите за покривање можат да се дефинираат за групи кои не се интегери (пр. ограничени полиња, латицеси. Овие имаат апликации во криптографијата.

Вообичаени грешки и замки

Кога дизајнирате системи за покривање, избегнувајте ги овие чести грешки:

  • Понекогаш повторувањето на модули со различни остатоци може да биде поефикасно, особено за мали опсеги.
  • [ФЛТ:0] Игнорирај го кинескиот Преклопување помеѓу прогресиите не е случајно; тој следи предвидливи шеми кои можете да ги искористите во своја корист.
  • Преку првичните чекори:
  • Кога покривате одреден опсег, погрижете се вашите прогреси да не се протегаат далеку од опсегот, а притоа да не губите покриеност.

Користи од контролирањето на системите за покривање

Системите за покривање на мрежата го зголемуваат математичкиот заклучок и вештините за решавање на проблеми. Тие учат како да се пробие голем проблем во менаџирање на компоненти вредни за компјутерската наука, за истражување на операции и инженерство. За педагози, покривањето системите даваат конкретен пример за апстрактни теории за теорија, со што тие стануваат достапни за студентите.

Клучни користи се:

  • [ФЛТ:0] Ресорсификација: [ФЛТ:] Користи минимални елементи за покривање на сет, штедење време и цена во апликациите на реалниот свет.
  • [ФЛТ:0]
  • [ФЛТ:0] Неоппишливи апликации: [ФЛТ:1] Од турнирот за да дизајнираат ефикасни комуникациски мрежи, системите за покривање се појавуваат во многу области.

Понатамошно читање и референци

За оние кои се заинтересирани да нуркаат подлабоко, следниве ресурси обезбедуваат обемни информации за системите за покривање:

  • [ФЛТ:0] Википедија: Систем за покривање [ФЛТ:1]
  • [ФЛТ:0] Истражувај ја статијата за системите за покривање [ФЛТ:1] , хартија која детално ги објаснува современите апликации.
  • Покривање на системите , ,Штети на отворените проблеми.
  • [ФЛТ:0] ОЕИС Вики за системот за покривање [ФЛТ:1]

Заклучување

Преку обезбедување на награда за лотарија за да се дизајнираат мрежи за грешка, концептот на покривање на сите посакувани елементи со минимални ресурси е универзално вреден. Со учење да се дизајнираат и анализираат системите за покривање на покривање на покривање на материјалите, ќе се стекне подлабоко ценење за структурата на броевите и ќе се развијат вештини кои се применливи во многу дисциплини. Дали сте студенти, учители или професионални, со тоа што ќе се истражуваат системите за покривање на системите за создавање на податоци и ефикасност.