なぜ数学モデルがメガミリオンズジャックポットの傾向のためのマッター

Mega Millions宝くじは、その人生を変えるジャックポットで何百万を捕虜にしますが、億ドルの賞金の見出しの背後にあることは、数字、確率、パターンの世界です。 Mathematicalモデルは、ジャックポットが成長する方法を分析するための構造化された方法を提供します。彼らがピークするかもしれないとき、そして、これらの占星術的な合計を駆動する要因は、あなたが持っている予測を予測する可能性はありません。モデルが勝利を保証することはできませんが、結局のところ、純粋なチャンスのゲームは、あなたが重要な分析を追い払うのを助ける、そして、あなたは、あなたが重要な分析を予測するような、あなたが重要なデータを作成するために、あなたは、あなたが重要な情報を理解することができます。

ジャックポットの成長のメカニックス

Mega Millionsジャックポットのトレンドを予測するには、まずエンジンを駆動するエンジンを理解する必要があります。 ジャックポットは、現在の$ 20ミリオンで始まり、チケットが6つの数字にマッチしないたびに増加します。 増加は固定されません。 チケット販売によって異なります。 各チケットは、ジャックポットプールに約50%の料金を追加します(残りの部分は賞品、小売業者、および州プログラムに行きます)。 ロールオーバー中の販売サージが、ジャックポットは、より速くなります。 より多くのプレーヤーは、より多くの選手が、より大きなペースで増加します。

成長に影響を与える主要な変数は下記のものを含んでいます:

  • チケット販売量:売上は非常に変動します。典型的な図面は10〜20万枚のチケットを販売するかもしれませんが、500万ドルに達するジャックポットの実行は、100〜200万枚のチケットが販売されているのを見ることができます。
  • : 勝つ確率: メガミリオンジャックポットを打つオッズは、302,575,350で1です。 小さな確率は、ほとんどのロールオーバーが期待されます。
  • ロールオーバールール:ジャックポットは、勝利後にベース値にリセットします。また、固定キャップもあります。その後、ジャックポットがさらに成長し、代わりに次の描画に「キャッシュ」としてロールオーバーすることができない約$ 1.5億です。(発表されたアンヌティの値は、まだ増加する可能性があります)。
  • Annuity対キャッシュバリュー:メガミリオンズは、アンヌイティ(30年以上経過)とルムス(キャッシュ)の2つのペイアウトオプションを提供しています。 広告ジャックポットは、キャッシュプールよりも異なる成長するアニュイティ値です。 アナリストは、実際の賞金が利用できるため、モデリングのための現金値に通常焦点を合わせています。

これらのメカニックを理解することで、正しい数学モデルを選択し、その出力を意味的に解釈することができます。

指数関数的な成長モデル:最も簡単な開始ポイント

指数関数的な成長モデルは、ジャックポットが各ロールオーバーの一定の割合で増加すると仮定します。 実際には、成長因子は異なりますが、初期のロールオーバー(売上高が比較的安定しているとき)では、それはまともな近似です。 式は次のとおりです。

J[n] = J[[]]]0×(1 + r)n]

J0は、初期ジャックポット、rは、ロールオーバーの数で平均成長率です。 歴史データを見ることによって、rを推定することができます。例えば、ジャックポットが勝者なしで1ロールオーバー後に20万ドルから30万ドルに成長した場合、rは0.5(50%)になる。 しかし、長期的には、rはより大きいとチケットが増加し、このモデルが実際に理解するのに役立つことを予測します。

例えば、図面ごとの一定30%の成長と、$ 20百万のジャックポットを発症すると、ジャックポットは7ロールオーバー(20×1.3^7 ≈ 118)以降、100万ドルに達します。 実際には、成長率はジャックポットが上昇すると遅くなります。したがって、後段のr downwardを調整する必要があります。 []]のようなソースから歴史的なジャックポットデータを見つけることができます。 メガミリオンズのウェブサイト[FLT][FLT]または[FLT][FLT]:[FLT]:[FLT]]を[FLT]]にしてください[FLT]:[FLT]:[F]]または[FLT][F]][FLT][F]][FLT]][F][F]]]][FLT][FLT]]][FLT][F]]][FLT][F][F][F]]][FLT[F][FLT[F][F]]]]][FLT[F[F]]]][F][F]][F[F]]]][F

統計的な回帰モデル:歴史から学ぶ

回帰解析は、実際のデータポイントに数学関数をフィッティングすることで、単純な指数関数を超えて行きます。 独立変数としてジャックポットの量と、独立した変数として描画の数(または時間)を処理します。 一般的な回帰タイプ:

  • Linear Regression: ジャックポットが一定のドルの額で成長すると仮定します。 これは、成長が加速されるため、メガミリオンにとっては珍しく正確ですが、それは短いスパンに適用することができます。
  • ポリノミアル回帰:クワドレークや立方成長などのキャプチャカーブ。クワッドモデル(J = + bx + cx2)は、ジャックポットの実行の初期の半分で見られる加速成長を近似することができます。
  • 物流回帰:成長が加速するときに、キャップ付近など有用な場合。
  • 指数回帰:最も一般的な選択は、フォームJ = a×ebxまたはJ = a×[x]の式をフィッティングします。 これは直接、モデルのパーセンテージ成長をモデル化します。

ステップバイステップによる回帰モデルステップの構築

独自の回帰モデルを作成するには、次の手順に従ってください。

  1. 過去のデータを置き換えます。少なくとも最後の数のダースジャックポットが実行される(各々は、リセットからウィンに実行されます)。各図面、図面の日付、および勝者が発生したかどうかのジャックポットの量を含んでください。 パブリック API のような LotteryAPIは、これを自動化することができます。
  2. : キャップや特別プロモーションによって切り捨てられた実行を解除します。 迷惑と現金値(プリファー現金)を正規化します。
  3. モデルタイプを選択します。曲線が上向きの曲げのように見える場合は、指数関数または量子を試します。ログスケールの直線のように見える場合は、指数関数が適切です。
  4. モデルを固定します。Excel(LINEST)、Python(scikit-learn)、R(lm)などのソフトウェアを使用してください。 式係数とR2値(モデルが合っているのはよく)を計算します。 良いフィットは、R2を0.95以上持っています。
  5. Validate]:モデルを、未データ(例えば、最後の20%の実行)でテストします。 予測された対実際のジャックポットを確認してください。 エラーが10〜20%以内であれば、合理的なモデルがあります。
  6. [Forecast]:予測されたジャックポットを得るために将来の描画番号をプラグインしますが、各予測は自信の間隔で来ることを覚えておいてください(将来的にさらに予測するにつれて、)。

例:2022 回の実行からデータに対する指数関数的な回帰を使用して、$20 百万から $1.337 億38 の描画に行なった、J ≈ 20 × 1.12n[]]のようなものがあります。 1 2% の描画あたりの成長は初期段階 30% よりもはるかに低いです。これは、典型的な減速を反映しています。次の億ドルジャックポットが起こると予測するためにデータジャーナリストが予測するようなモデルが使用されます。

モンテカルロシミュレーション: ランダムネスを抱える

回帰モデルが単一の予測されたパスを与える一方で、モンテカルロシミュレーションは、チケット販売と勝者の発生の固有のランダム性を認識しています。モンテカルロシミュレーションは、わずかに異なる入力を持つ、そして結果を集計して、可能な結果の範囲を確認することができます。これは、特に「ジャックポットが次の10の描画内で1億ドルを超える確率は何か」などの質問に答えるのに便利です。

モンテカルロシミュレーションの設定方法

  1. [] Define 入力分布:固定チケット販売数の代わりに、確率分布として販売をモデル化します。例えば、現在のジャックポット(より多くのプレイヤーがより高いジャックポットに引き寄せられる)に依存する平均で売上がログ正規分布に従うと仮定するかもしれません。あなたは、歴史的な販売データからこれを推定することができます。
  2. []勝ち確率[:少なくとも1枚のチケットが1つに勝るチャンスは1 − (1/302,575,350)^(売り切れのチケットの数)です。この確率は売上高が上昇するにつれて増加します。
  3. 単一のトライアルを実行します]:ベースジャックポットで開始します。各描画のために、配布から販売されたチケットの数のサンプル。そのチケットカウントを使用して、賞金の確率を計算します。勝者が存在しているかどうかを決定するためにランダムな番号を生成します。勝者なしで、新しいチケットの収益をジャックポットに追加(各チケットはジャックポットプールに約50%の料金に貢献します)。勝者の場合、実行し、決勝をクリアするか、または50gを抽選してください。
  4. ]何度も繰り返して:10,000または100,000の試用を実行します。各実行の最終ジャックポット(勝者がヒットしたときに金額)を記録します。また、各描画で中間ジャックポットを記録します。
  5. 分析結果:あなたは今、可能なジャックポットのサイズと勝利のタイミングの分布を持っています。 あなたは、このようなしきい値を超える媒体、90分のパーセンタイル、または確率を計算することができます。 $ 十億。

モンテカルロシミュレーションは、予想されるジャックポットが30億ドルの後にも、10%を超えるチャンスがあり、勝者が40ドルで現れない確率で、さらに高い賞金を獲得するチャンスが5倍に増加する可能性があることを明らかにしました。 これらの洞察は、読者が単一の予測ではなく、可能性の広がりを理解するのに役立ちます。

お使いのモデルのデータソースとツール

ゼロからすべてを構築する必要はありません。 いくつかのリソースは、既製のデータを提供します。

  • [メガミリオンズ公式サイト:過去の勝利数とジャックポットの量を持っていますが、限られた歴史アーカイブ。 手動でスキャプまたはダウンロードします。
  • Lottery Post(lotterypost.com)[:すべての主要な宝くじのための歴史的なジャックポットデータを追跡し、図面ごとに更新しました。
  • USAMega(usamega.com)[:ジャックポット値とチケット販売見積りでメガミリオンとパワーボールの結果のアーカイブ。
  • GitHub Open Datasets]:「メガミリオンスジャックポット履歴」を検索 - たくさんのデータサイエンティストがCSVファイルを維持します。

実行モデルでは、次の機能を使うことができます。

  • Microsoft Excel:内蔵回帰ツール(データ分析アドオン)と、基本的なモンテカルロのための単純なランダムな数ジェネレータ。
  • Python:パンダ、数字、スプトロリブなどのライブラリ。 Stack Overflowのようなフォーラムで例コードスニペットが広く利用可能です。
  • R:統計解析と可視化のために強い;回帰とシミュレーションのための「サンプル」機能。
  • Google Sheets]:LINESTによる基本的な回帰と、いくつかのランダムなシミュレーション機能が、数千の試験のために遅くなります。

快適度に合ったツールを選択します。スプレッドシートのユーザーは、数式でまともな指数関数モデルを構築できます。

一般的な落札とテムを避ける方法

数学モデルは強力ですが、クリスタルボールではありません。 頻繁な間違いとどのようにシスタークリアするか:

  • []オーバーフィッティング:過去のデータに完全に収まる高度ポリノミアルを使用して、将来の実行を予測できません。 いくつかのパラメータで単純なモデル(指数関数的または量的)に固執します。
  • []キャッシュ対アンヌイティ・ディディニクションを無視する:広告主ジャックポットは実際のキャッシュプールとは異なる成長をします。常にキャッシュ値をモデル化し、アンヌイティ・バリューは、金利の仮定に基づいてマーケティング番号です。 多くのオンラインデータベースは両方を提供します。
  • : 一定の成長率を仮定:初期成長(最初の数のロールオーバー)は急激です。後続成長フラットテン。 成長率が時間とともに減少することを可能にするモデルを使用してください。 記号論理曲線や部分的なモデル。
  • ジャックポットキャップの会計ではありません:アンヌティ値がキャップ(例えば、$ 1.5億)に当たると、キャッシュプールはまだ成長していますが、発表されたジャックポットは比例して増加しません。 あなたのモデルは、このプラトーを処理する必要があります。
  • ]Too Little Data:単一のジャックポットの実行は、データポイントのほんの一部だけを提供します。 複数の実行を結合(例えば、最後の10ラン)、成長パターンのより堅牢なモデルを取得。
  • [] カスエーション[と相関関係を融合:チケット販売ドライブジャックポットの成長が、多くの要因(広告、メディアカバレッジ、季節性)に依存している。 予測者だけがこれらの影響を見逃すように時間を使用する回帰。

実用的なアプリケーション:次のビッグジャックポットを予測

検証済みモデルでは、実際の質問に答えることができます。

  • [ジャックポットが再び1億ドルに達すると?[]]歴史的な平均成長率を使用して、必要なロールオーバーの数を推定することができます。例えば、描画あたりの平均成長率が9%(最近の実行から)の場合、$ 20ミリオンで開始するジャックポットは、約48ロールオーバーが1億ドル(20× 1.09^48 ≈ 1,090)に達することができます。それは約24週間です(週あたりの2つの描画)。しかし、実際のジャックポットは30〜35倍の程度です。
  • ジャックポットが次の20の描画で500万ドルを超える確率は何ですか?[]現在のジャックポットと典型的な販売分配を開始してモンテカルロを実行します。 報道を開始するときにニュースアウトレットが決定するのに役立つ、70%のチャンスがあります。
  • ジャックポットが600万ドルであるときにチケットを購入したいですか?モデルでは、税金とアンヌイティコストの後に予想される値(prize×確率)を計算することができます。これは別の計算です。これは、一般的に、期待される値がマイナスですが、いくつかのジャックポット($ 800百万)は、あなたが失格のためにアカウントにアプローチし、賞品を分割するリスクを無視することができます。しかし、さらに、宝くじは、税金に設計されています。

多くの金融アナリストや宝くじブロガーは、これらの技術を使用しています。 たとえば、ウェブサイト[[]]Lottery Critic])は、各図面の統計的な故障を公開しています。 基本的な確率拡張のためのWikiHow[の類似分析を見つけることができます。

制限事項と倫理的考慮事項

メガミリオンズジャックポットのトレンドの数学的なモデルには、そのユーティリティにもかかわらず、固有の限界があります。

  • Randomness prevails:各図面は独立しています。モデルが勝者が現れた正確な図面を予測することはできません。 あなたができる最善は、「今から10-15の図面の範囲内で最も可能性が高い勝利が起こる」と言うことです。
  • [ 変更ルール]: 宝くじの手数料は、時折行列(番号セット、ボーナスボール)またはロールオーバーのメカニクスを微調整します。 事前-2020データで訓練されたモデルは、オッズが1:258,890,850から1:302,575,350に変更されたとき、ポスト-2020に失敗する可能性があります。
  • 行動因子]:メディアハイプ、ソーシャルメディアの傾向、さらにはモデルが時間前にキャプチャできない方法でチケット販売に影響を与えることができます。
  • 倫理的使用]:「保証された間違い」または「保証する」として宝くじの予測を促進します。 分析ツールとして常にモデルをフレーム化し、戦略を獲得しません。 責任あるプレイを奨励し、宝くじが投資ではなく、エンターテインメントの形態であることを強調します。

一部の管轄区域が、オッズに関する法的に操作された警告を持っていることに注意する価値もあります。分析を出版するとき、過去の傾向が将来の結果を保証するものではなく、宝くじがチャンスのゲームであることを保証しないという明確な声明が含まれます。

結論:モデルを分析ツールボックスの1つのツールとして使用

数学的なモデル - 指数関数的な成長の式、回帰分析、モンテカルロシミュレーション - メガミリオンスジャックポットの傾向を理解し、予測するための構造化された方法を引き起こします。 彼らは、次のレコードを粉砕するジャックポットが起こるとき、あなたは推定を助けることができる予測に生の履歴データを変換します、そしてどのようにそれが成長するか、そしてどのような可能性が存在するか。 しかし、これらのモデルは、データとして良いだけでなく、それら背後にあるアサムライメントだけです。 潜在的な結果は、あなたが常にあなたの正確な結果と判断することができない、あなたは、あなたの正確な結果とあなたの結果を検証します。